Question

在等比數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)為a₁，公比為q，S_n表示其前n項(xiàng)和．
（I）記S_n=A，S_2n-S_n=B，S_3n-S_2n=C，證明A，B，C成等比數(shù)列；
（II）若a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，

S6

S3

=9，記數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n取何值時(shí)，T_n有最小值．

Answer 1

分析：（ I）A=

a1(1-qn)

1-q

，B=

an+1(1-qn)

1-q

，C=

a2n+1(1-qn)

1-q

．故

B

A

=

an+1

a1

=qn，

C

B

=

a2n+1

an+1

=

an+1qn

an+1

=qn．所以A，B，C成等比數(shù)列；
（II）若q=1，則

S6

S3

=

6a1

3a1

=2≠9，與題設(shè)矛盾；若q≠1，則

S6

S3

=

a1(1-q6)

a1(1-q3)

=1+q3，故有1+q³=9，解得q=2．
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．由此入手能夠推導(dǎo)出當(dāng)n=11時(shí)，T_n有最小值．

解答：解：（ I）當(dāng)q=1時(shí)，A=na₁，B=2na₁-na₁=na₁，
C=3na₁-2na₁=na₁，可見(jiàn)A，B，C成等比數(shù)列；（2分）
當(dāng)q≠1時(shí)，A=

a1(1-qn)

1-q

，B=

an+1(1-qn)

1-q

，
C=

a2n+1(1-qn)

1-q

．故有

B

A

=

an+1

a1

=qn
，

C

B

=

a2n+1

an+1

=

an+1qn

an+1

=qn．
可得

B

A

=

C

B

，這說(shuō)明A，B，C成等比數(shù)列．
綜上，A，B，C成等比數(shù)列；（6分）

（II）若q=1，則

S6

S3

=

6a1

3a1

=2≠9，
與題設(shè)矛盾，此情況不存在；
若q≠1，則

S6

S3

=

a1(1-q6)

a1(1-q3)

=1+q3，
故有1+q³=9，解得q=2． （8分）
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．
所以數(shù)列{log₂a_n}是以log₂a為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0?n≤1-log₂a．
因?yàn)?span id="hxsaa0v" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a∈[

1

2010

，

1

1949

]，
所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，（10分）
即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，
可知滿足log₂a_n≤0的最大的n值為11．
所以，數(shù)列{log₂a_n}的前11項(xiàng)均為負(fù)值，
從第12項(xiàng)開始都是正數(shù)．因此，當(dāng)n=11時(shí)，T_n有最小值． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．