Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sin2（ +x）+ （sin2x﹣cos2x），x∈[ ， ]．
（1）求 的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：
（2）解： = ．

又 ，

∴ ，

當(dāng) 時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 ；

f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是

（3）解：由（2）得 ，

∴f（x）的值域是[2，3]．

|f（x）﹣m|＜2f（x）﹣2＜m＜f（x）+2， ．

∴m＞f（x）max﹣2且 m＜f（x）min+2，

∴1＜m＜4，即m的取值范圍是（1，4）

【解析】（1）根據(jù)所給的解析式，代入所給的自變量的值，計(jì)算出結(jié)果，本題也可以先化簡(jiǎn)再代入數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算．（2）把所給的三角函數(shù)的解析式進(jìn)行恒等變形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)正弦曲線的單調(diào)性寫出ωx+φ所在的區(qū)間，解出不等式即可．（3）根據(jù)前面整理出來的結(jié)果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，解出關(guān)于絕對(duì)值的不等式，求出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解三角函數(shù)的最值(函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，)．