Question

某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件成本為40元，出廠單價(jià)定為60元．該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次定購量超過100件時(shí)，每多訂一件，訂購的全部服裝的單價(jià)就降低0.02元．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售商一次的訂購量不超過500件．
（I）當(dāng)銷售商一次訂購量為x件時(shí)，求該服裝的出廠單價(jià)；
（II）當(dāng)銷售商訂購了450件服裝時(shí)，該服裝廠獲得的利潤(rùn)是多少元？
（Ⅲ）當(dāng)銷售商一次訂購多少件服裝時(shí)，該服裝廠可以或得最大利潤(rùn)？

Answer 1

分析：（I）服裝的實(shí)際出廠單價(jià)為P，應(yīng)按x≤100和x＞100兩類分別計(jì)算，故函數(shù)P=f（x）應(yīng)為分段函數(shù)；
（II）由（I）可求出銷售商一次訂購了450件服裝時(shí)的出廠價(jià)P，450（P-40）即為所求；
也可列出當(dāng)銷售商一次訂購x件服裝時(shí)，該服裝廠獲得的利潤(rùn)函數(shù)，再求x=450時(shí)的函數(shù)值．
（Ⅲ）分別求出x≤100，x＞100時(shí)的最大利潤(rùn)，比較可確定服裝廠可以獲得最大利潤(rùn)

解答：解：（I）當(dāng)0＜x≤100時(shí)，P=60
當(dāng)100＜x≤500時(shí)，P=60-0.02(x-100)=62-

x

50

所以 P=f(x)=

60 0＜x≤100 62- x 50 100＜x≤500

(x∈N)
（II）設(shè)銷售商的一次訂購量為x件時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，
則 L=(P-40)x=

20x 0＜x≤100 22x- x2 50 100＜x≤500(x∈N)

當(dāng)x=450時(shí)，L=5850
因此，當(dāng)銷售商一次訂購了450件服裝時(shí)，該廠獲利的利潤(rùn)是5850元．
（Ⅲ）由（II）知：x≤100時(shí)，最大利潤(rùn)為2000元
x＞100時(shí)，函數(shù)在（100，500]上為單調(diào)增函數(shù)，故x=500時(shí)，利潤(rùn)最大為6000元
所以當(dāng)銷售商一次訂購500件服裝時(shí)，該服裝廠可以獲得最大利潤(rùn)

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)最值的求解，由于訂購量的不同，優(yōu)惠不同，故模型為分段函數(shù)．