Question

已知函數(shù)h（x），定義f_k（x）=h（x-mk）+nk，x∈（mk，m+mk]，k∈Z（其中m＞0、n＞0是常數(shù)）叫階梯函數(shù)的第k階，m叫階寬，n叫階高．
（1）若h（x）=2^x，求當階寬為2，階高為3的第0階和第k函數(shù)f₀（x）和f_k（x）的解析式；
（2）若h（x）=x²，設階寬為2，階高為3；是否存在正整數(shù)k，使得f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1有解？

Answer 1

分析：（1）利用題目中給出的階梯函數(shù)的定義解決該類問題．關鍵要理解階梯函數(shù)的定義以及一些字母和符號的含義；
（2）掌握探究性問題的解決方法，要假設存在正整數(shù)，尋找相應的關系式進行求解或說明．

解答：解：（1）f₀（x）=h（x）=2^x，x∈（0，2]；f_k（x）=h（x-2k）+3k=2 ^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．
（2）若h（x）=x²，則f_k（x）=（x-2k）²+3k，f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1
?（x-2k）²+3k＜（1-3k）x+4k²+3k-1，
整理得出x²-（k+1）x+1＜0．
當k=1時，x²-2x+1＜0無解，當k≥2時，x²-（k+1）x+1＜0，
得出

k+1- (k+1)2-4

2

＜x＜

k+1+ (k+1)2-4

2

     ①
又根據(jù)x∈（2k，2k+2]，k∈Z           ②
又根據(jù)

k+1+ (k+1)2-4

2

＜

k+1+ (k+1)2

2

=k+1＜2k，
①②無公共部分，即不存在正整數(shù)k滿足題意．

點評：本題考查新定義型問題的解決方法，屬于創(chuàng)新題型．關鍵要理解階梯函數(shù)的定義，然后寫出該函數(shù)的解析式；掌握探究性問題的研究方法，先假設存在，再尋找字母滿足的關系式，進行求解和判斷．