Question

如果關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數(shù)解，那么實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），故我們可將關(guān)于x的方程 ax2+

1

x

=3x有且僅有一個正實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為“雙曲線 y1=1x與y2=3x-ax2的圖象在y軸右側(cè)只有一個交點”．對參數(shù)的取值范圍進行討論，求出實數(shù)a的取值范圍

解答：解：將方程ax2+

1

x

=3x改寫為

1

x

=3x-ax2，令y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數(shù)解”等價于“雙曲線y1=

1

x

與y₂=3x-ax²的圖象在y軸右側(cè)只有一個交點”．
雙曲線y1=

1

x

在第一、三象限內(nèi)．
當a＞0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向下且過原點（0，0）及x軸正半軸上的點(

3

a

，0)，研究知，當a＜2時，雙曲線y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)有兩個交點，當a＞2時，兩曲線在第一象限無交點，當a=2進，兩曲線僅有一個交點，故a=2符合題意．
當a=0時，y₂=3x-ax²=3x為直線，此時，雙曲線y1=

1

x

與直線y₂=3x在第一象限內(nèi)只有一個交點，故a=0符合題意．
當a＜0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向上且過原點（0，0）及x軸負半軸上的點(

3

a

，0)，此時，雙曲線y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)僅有一個交點，故a＜0符合題意．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]∪{2}．
故答案為：（-∞，0]∪{2}．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)函數(shù)的定義域，將分式方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩曲線的交點個數(shù)問題是解答本題的關(guān)鍵．屬中檔題．