Question

（2007•武漢模擬）（文） 已知函數(shù)f（x）=

3 sin4x

cos2x

-4sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和最大值；  
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的解析式知，自變量x要滿足cos2x≠0，由此即可解出定義域，求函數(shù)的值域要先對函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，解析式可變?yōu)閒（x）=4sin（2x+

π

6

）-2由三角函數(shù)的有界性易得函數(shù)的最值；
（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+

π

6

）-2，求此函數(shù)的單調(diào)性增區(qū)間，令相位2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，從中解出x的取值范圍，即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）由f（x）=

3 sin4x

cos2x

-4sin²x，x要滿足cos2x≠0，從而2x≠kπ+

π

2

 （k∈Z）
因此f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠

1

2

kπ+

π

4

，（k∈Z）}
又f（x）=2

3

sin2x-2（2sin²x-1）-2=2

3

sin2x+cos2x-2=4sin（2x+

π

6

）-2
∴-6≤f（x）≤2，當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，有f（x）=2
∴x=kπ+

π

6

，k∈Z時(shí)，f（x）的最大值為2
（2）由f（x）=4sin（2x+

π

6

）-2，2x≠2kπ±

π

2

 
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可知：
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

 且x≠kπ-

π

4

 
于是f（x）在[kπ-

π

3

，kπ-

π

4

）上為增函數(shù)，在（kπ-

π

4

，kπ+

π

6

]上也是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了二倍角的正弦、余弦公式，正弦的和角公式，三角函數(shù)最值的求法，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)中的有關(guān)公式且能根據(jù)這些公式靈活變形，本題第二小題易出錯(cuò)易因?yàn)橥�記函�?shù)的定義域而出錯(cuò)，做題是要前后結(jié)合，完成題目后要復(fù)查一遍，另外，有著嚴(yán)密的邏輯推理習(xí)慣也有助于此類題的正確解答