Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P且斜率為的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；
（3）問(wèn)：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，可知?jiǎng)訄A圓心的軌跡為拋物線，從而可求軌跡M的方程；
（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可求A，B的坐標(biāo)，從而可求AB長(zhǎng)；
（3）假設(shè)△ABC能為正三角形，利用，導(dǎo)出矛盾，從而得解．
解答：解：（1）因?yàn)閯?dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切
所以由拋物線定義知：圓心M的軌跡是以定點(diǎn)P（1，0）為焦點(diǎn)，定直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線
所以 圓心M的軌跡方程為y²=4x------（4分）
（2）由題知，直線AB的方程為------（6分）
所以解得：------（8分）
∴----（10分）
（3）假設(shè)△ABC能為正三角形，則設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，y）---（11分）
由題知（13分）
即：------（14分）
由于上述方程無(wú)實(shí)數(shù)解，因此直線l上不存在這樣的點(diǎn)C．------（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查存在性問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解拋物線的定義．