Question

（2012•湖北模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x-

4π

3

)+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并寫出使f（x）取最大值是x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f(B+C)=

3

2

，b+c=2．求a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式第一項利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)的值域得到余弦函數(shù)的最大值為1，可得出函數(shù)f（x）的最大值，并根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時x的范圍，即可確定出使f（x）取最大值是x的集合；
（Ⅱ）由f（B+C）=

3

2

，將B+C代入第一問化簡后的式子中，利用誘導(dǎo)公式化簡后得到cos（2A-

π

3

）的值，由A為三角形的內(nèi)角，得出2A-

π

3

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進而確定出cosA的值，再利用余弦定理表示出a²=b²+c²-2bccosC，利用完全平方公式化簡后，將b+c及cosC的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-

4π

3

）+2cos²x
=（cos2xcos

4π

3

+sin2xsin

4π

3

）+（1+cos2x）
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos（2x+

π

3

）+1，（3分）
∵-1≤cos（2x+

π

3

）≤1，即cos（2x+

π

3

）最大值為1，
∴f（x）的最大值為2，（4分）
要使f（x）取最大值，cos（2x+

π

3

）=1，即2x+

π

3

=2kπ（k∈Z），
解得：x=kπ-

π

6

（k∈Z），
則x的集合為{x|x=kπ-

π

6

（k∈Z）}；（6分）
（Ⅱ）由題意，f（B+C）=cos[2（B+C）+

π

3

]+1=

3

2

，即cos（2π-2A+

π

3

）=

1

2

，
化簡得：cos（2A-

π

3

）=

1

2

，（8分）
∵A∈（0，π），∴2A-

π

3

∈（-

π

3

，

5π

3

），
則有2A-

π

3

=

π

3

，即A=

π

3

，（10分）
在△ABC中，b+c=2，cosA=

1

2

，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc=4-3bc，（12分）
由b+c=2知：bc≤(

b+c

2

)2=1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時取等號，
∴a²≥4-3=1，
則a取最小值1．（14分）

點評：此題考查了余弦定理，三角函數(shù)的化簡求值，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，基本不等式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，以及余弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．