Question

（本小題滿分分）

若函數(shù)在定義域內某區(qū)間上是增函數(shù)，而在上是減函數(shù)，

則稱在上是“弱增函數(shù)”

（1）請分別判斷=，在是否是“弱增函數(shù)”，

并簡要說明理由;

（2）證明函數(shù)(是常數(shù)且)在上是“弱增函數(shù)”．

 

Answer 1

【答案】

（1）=在上是“弱增函數(shù)”； 在上不是“弱增函數(shù)”（2）易證在上是增函數(shù)，再利用定義證明在上是減函數(shù)

【解析】

試題分析：（1）=在上是“弱增函數(shù)”；

在上不是“弱增函數(shù)”；                           ……2分

理由如下：

顯然，=在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

∴=在上是“弱增函數(shù)”。                             ……4分

∵是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，

∴在上是增函數(shù)，

而在上是增函數(shù)，

∴在上不是“弱增函數(shù)”。                        ……6分

（2）證明：∵函數(shù)是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，

∴函數(shù)(是常數(shù)且)在上是增函數(shù)；        ……8分

令，則，

對任意，得，，                      ……9分

∵

，                       ……12分

∴，從而在上是減函數(shù)，                ……13分

∴函數(shù)(是常數(shù)且)在上是“弱增函數(shù)”.  ……14分

考點：本小題主要考查新定義下函數(shù)的單調性的研究和證明，考查學生的推理能力和論證能力.

點評：判斷函數(shù)的單調性一是可以借助初等函數(shù)的單調性，再就是利用函數(shù)的單調性的定義來證明，利用定義證明函數(shù)的單調性時，要化到最簡.