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        1. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為2的正三角形,點A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點.
          (Ⅰ)求證:A1A⊥BC;
          (Ⅱ)當側棱AA1和底面成45°角時,求二面角A1-AC-B的大小余弦值;
          (Ⅲ)若D為側棱A1A上一點,當為何值時,BD⊥A1C1
          【答案】分析:解法一:(Ⅰ)證明A1A⊥BC,只需證明BC⊥平面A1OA;
          (Ⅱ)由(Ⅰ)得∠A1AO=45°,過O作OE⊥AC于E,連接A1E,則∠A1EO為二面角A1-AC-B的平面角;
          (Ⅲ)過D作DF∥A1O,交AO于F,則DF⊥平面ABC,要使BD⊥A1C1,只要BD⊥AC,即證BF⊥AC;
          解法二:以O點為原點,OC為x軸,OA為y軸,OA1為z軸建立空間直角坐標系.
          (Ⅰ)由題意知∠A1AO=45°,A1O=3,用坐標表示點與向量.根據(jù)=0,可得結論;
          (Ⅱ)求出面ACA1的法向量n1=(,1,1),面ABC的法向量為n2=(0,0,1),利用向量的夾角公式,即可求得結論.
          (Ⅲ)A1C1∥AC,故只需BD⊥AC即可,要使BD⊥AC,須=0,由此可得結論.
          解答:解法一:(Ⅰ)證明:連接AO,∵A1O⊥面ABC,BC?面ABC
          ∴A1O⊥BC
          ∵AO⊥BC,A1O∩AO=O
          ∴BC⊥平面A1OA
          ∵A1A?平面A1OA
          ∴A1A⊥BC.…3分
          (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得∠A1AO=45°
          由底面是邊長為2的正三角形,可知AO=3,∴A1O=3,AA1=3
          過O作OE⊥AC于E,連接A1E,則∠A1EO為二面角A1-AC-B的平面角…6分
          ∵OE=,∴tan∠A1EO=…9分
          即二面角A1-AC-B的大小余弦值為

          (Ⅲ)解:過D作DF∥A1O,交AO于F,則DF⊥平面ABC,∴BF為BD在面ABC內(nèi)的射影,
          又∵A1C1∥AC,∴要使BD⊥A1C1,只要BD⊥AC,即證BF⊥AC,
          ∴F為△ABC的中心,∴…8分

          解法二:以O點為原點,OC為x軸,OA為y軸,OA1為z軸建立空間直角坐標系.
          (Ⅰ)證明:由題意知∠A1AO=45°,A1O=3.
          ∴O(0,0,0),C(,0,0),A(0,3,0),A1(O,0,3),B(-,0,0).
          =(0,-3,3),=(2,0,0)
          =0×2+(-3)×0+3×0=0.
          ∴AA1⊥BC.…4分
          (Ⅱ)解:設面ACA1的法向量為n1=(x,y,z),

          令z=1,則x=,y=1,∴n1=(,1,1)…6分
          而面ABC的法向量為n2=(0,0,1)…8分
          cos(n1,n2)=
          又顯然所求二面角的平面角為銳角,
          ∴所求二面角的大小為…9分
          (Ⅲ)解:A1C1∥AC,故只需BD⊥AC即可,設AD=a,則D(0,3-a,a)
          又B(-,0,0),則=(-,3-a,a),=(,-3,0).
          要使BD⊥AC,須=3-3(3-a)=0,
          得a=2,而AA1=3,∴A1D=
          …13分.
          點評:本題考查線線垂直,考查面面角,利用兩法并舉,體現(xiàn)向量法的優(yōu)越性,注意體會.
          練習冊系列答案
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          (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,求證:BC⊥AC1
          (2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,若D是底邊AB的中點,求證:AC1∥平面CDB1
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          5
          ,BC=4,在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O.
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          (Ⅱ)求證二面角A1-BC1-B1的余弦值;
          (Ⅲ)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求
          BDBC1
          的值.

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