Question

【題目】橢圓的右焦點(diǎn)為，為圓與橢圓的一個公共點(diǎn)，.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）如圖，過作直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn).

（1）求證：；

（2）試問過，的直線是否過定點(diǎn)？若是，請求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）（1）由題意，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程可得，利用韋達(dá)定理即可得到結(jié)果；（2）直線的方程為，可化為 .從而得到定點(diǎn).

（Ⅰ）解：設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，連接，，.

∵，∴.

∴.

∴.∴.

又∵，，∴.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）（1）證明：① 當(dāng)直線斜率為0時，的方程為，∴，等式顯然成立；

②當(dāng)直線斜率不為0時，由題意，設(shè)的方程為.

∵，，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則.

整理，得.

，

，.

∴

.

∴等式成立.

（2）解：過，的直線過定點(diǎn).

①當(dāng)直線斜率不為0時，∵，

∴直線的方程為，

即，

即.

由（1）可知，，

∴

.

∴ .

∴過，的直線過定點(diǎn)；

②當(dāng)直線斜率為0時，的方程為，直線也過定點(diǎn).

綜上可知，過，的直線過定點(diǎn).