Question

已知定義在R上的奇函數f（x），定義域上是減函數，且f（x²-a）+f（x-2a）＞0．
（1）當x=1時，求實數a的取值范圍；
（2）當x∈[-1，2]時，不等式f（x²-a）+f（x-2a）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用定義在R上的奇函數f（x），定義域上是減函數，將不等式化為具體不等式，即可求實數a的取值范圍；
（2）分離參數求最值，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵定義在R上的奇函數f（x），且f（x²-a）+f（x-2a）＞0
∴f（x²-a）＞f（2a-x）
∵函數f（x）是定義域上的減函數，
∴x²-a＜2a-x
∵x=1，
∴1-a＜2a-1，即a＞

2

3

；
（2）由（1）知，3a＞x²+x
∵x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

，x∈[-1，2]
∴x=2時，（x²+x）_max=6
∵當x∈[-1，2]時，不等式f（x²-a）+f（x-2a）＞0恒成立，
∴a＞2．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的結合，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．