Question

函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+

1

2

bx2+2ax，f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，若f（x）在區(qū)間(

2

3

，+∞)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．
（Ⅱ）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）≥0恒成立，求a²+b²+10a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）b=1時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f^′（x）=-x²+x+2a，若f（x）在區(qū)間(

2

3

，+∞)存在單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)是在給定的區(qū)間內(nèi)，有子區(qū)間使得導(dǎo)函數(shù)值大于0，然后借助于二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸一定列不等式求a的取值范圍；
（Ⅱ）導(dǎo)函數(shù)仍然是二次函數(shù)，開口向下，在閉區(qū)間上大于等于0恒成立，只要兩端點(diǎn)的函數(shù)值同時(shí)大于等于0即可，得到關(guān)于a、b的二次不等式組后，分析二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，運(yùn)用幾何意義知：a²+b²+10a=

(a+5)2+b2

2-25，最后求點(diǎn)（-5，0）到區(qū)域內(nèi)最近點(diǎn)的距離．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，f^′（x）=-x²+x+2a，若f（x）在區(qū)間(

2

3

，+∞)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在區(qū)間(

2

3

，+∞)內(nèi)存在子區(qū)間使得f^′（x）=-x²+x+2a＞0，
因?qū)Ш瘮?shù)對(duì)應(yīng)的圖象是開口向下的拋物線，且對(duì)稱軸方程為x=

1

2

，那么要使在區(qū)間(

2

3

，+∞)內(nèi)存在子區(qū)間使得f^′（x）=-x²+x+2a＞0成立，
只需f′(

2

3

)=-(

2

3

)2+

2

3

+2a＞0，解得：a＞-

1

9

．
所以a的范圍為{a|a＞-

1

9

}．
（Ⅱ）由f(x)=-

1

3

x3+

1

2

bx2+2ax，得f^′（x）=-x²+bx+2a，導(dǎo)函數(shù)圖象是開口向下的拋物線，要使當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）≥0恒成立，則

f′(1)=-12+b+2a≥0 f′(2)=-22+2b+2a≥0

即

2a+b-1≥0 a+b-1≥0

而a²+b²+10a=（a+5）²+b²-25=

(a+5)2+b2

2-25，二元一次不等式組

2a+b-1≥0 a+b-1≥0

表示的平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（a，b）為（-1，3）時(shí)到定點(diǎn)（-5，0）的距離最小，
此時(shí)有（a²+b²+10a）_min=（-1+5）²+3²-25=0．
所以，滿足當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）≥0恒成立的a²+b²+10a的最小值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)考查了運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是理解f（x）在區(qū)間(

2

3

，+∞)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間的意義；第二問(wèn)是基本的二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)大于0恒成立問(wèn)題，求最值時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)訓(xùn)練了二元一次不等式所表示的平面區(qū)域問(wèn)題，綜合性強(qiáng)．