Question

已知a∈R，設函數f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+ax．
（ I） 若a=2，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（ II）求函數f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求導數f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=3處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）求出函數的導函數，令導函數為0，求出導函數的根，求出函數在導函數的兩個根處的函數值及區(qū)間的兩個端點對應的函數值，從幾個函數值中選出最大、最小值即可．

解答：解：（ I）a=2時，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x，所以f′（x）=x²-3x+2
所以f′（3）=2，而f(3)=

3

2

，所以切線方程為y-

3

2

=2(x-3)
即y=2x-

9

2

（一般式：4x-2y-9=0）
（ II）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
當a＜1時，函數f（x）在區(qū)間[2，3]上單調遞增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
當a=1時，函數f（x）在區(qū)間[2，3]上單調遞增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
當a＞1時，
①1＜a≤2時，在[2，3]上f′（x）＞0，即f（x）在區(qū)間[2，3]上單調遞增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
②2＜a＜3時，在[2，a）上f′（x）＜0，在（a，3]上f′（x）＞0，故f（x）_max=max{f（2），f（3）}，而f(2)=

2

3

，f(3)=

9

2

-

3

2

a，
所以當2＜a＜

23

9

時，f（3）＞f（2），故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
當

23

9

≤a＜3時，f（3）＜f（2），故f（x）_max=f(2)=

2

3

③a≥3時，在[2，3]上f′（x）≤0，即f（x）在區(qū)間[2，3]上單調遞減，
故f（x）_max=f(2)=

2

3

綜上所述：f(x)max=

9 2 - 3 2 a(a≤ 23 9 ) 2 3 (a＞ 23 9 )

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數求閉區(qū)間上函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．求函數在區(qū)間上的最值問題，應該先利用導數求出導函數的根對應的函數值及區(qū)間的端點對應的函數值，選出最值即可．