Question

已知圓錐曲線(xiàn)C：

x2

16

+

y2

t2-2t

=1（t≠0且t≠2），其兩個(gè)不同的焦點(diǎn)F₁、F₂同在x軸上．
（1）試根據(jù)t不同的取值范圍來(lái)討論C所表示的圓錐曲線(xiàn)；
（2）試在曲線(xiàn)C上求滿(mǎn)足

PF1

•

PF2

=0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并求出相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）只可能是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線(xiàn)，利用橢圓與雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；
（2）滿(mǎn)足

PF1

•

PF2

=0的P在以F₁F₂為直徑的圓周上．再根據(jù)t的取值范圍，可得當(dāng)t∈（0，2）時(shí)，曲線(xiàn)C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，可得p的個(gè)數(shù)．再根據(jù)b與c的關(guān)系即可得出p點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）只可能是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線(xiàn)，
當(dāng)

t2-2t＞0 t2-2t＜16

，即t∈(1-

17

，0)∪(2，1+

17

)時(shí)，曲線(xiàn)C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
當(dāng)t²-2t＜0即t∈（0，2）時(shí)，曲線(xiàn)C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)．
（2）滿(mǎn)足

PF1

•

PF2

=0的P在以F₁F₂為直徑的圓周上
當(dāng)t∈（0，2）時(shí)，曲線(xiàn)C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，P有4個(gè)
當(dāng)t∈(1-

17

，0)∪(2，1+

17

)時(shí)，曲線(xiàn)C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
此時(shí)a²=16，b²=t²-2t，c²=16-（t²-2t）
若b＜c，即t∈（-2，0）∪（2，4）時(shí)，P有4個(gè)
若b=c，即t=-2或t=4時(shí)，P有2個(gè)
若b＞c，即t∈(1-

17

，-2)∪(4，1+

17

)時(shí)，P不存在．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓、圓與雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、分類(lèi)討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．