Question

若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個不同點(diǎn)M、N滿足條件：
①M(fèi)、N都在函數(shù)y=f（x）的圖象上； 
②M、N關(guān)于原點(diǎn)對稱．則稱點(diǎn)對[M，N]為函數(shù)y=f（x）的一對“友好點(diǎn)對”．（注：點(diǎn)對[M，N]與[N，M]為同一“友好點(diǎn)對”），已知函數(shù)f(x)=

log3x(x＞0) -x2-4x(x≤0)

，此函數(shù)的“友好點(diǎn)對”有

2對

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對”，可知，欲求f（x）的“友好點(diǎn)對”，只須作出函數(shù)y=-x²-4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log₃x（x＞0）交點(diǎn)個數(shù)即可．

解答：解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時，-x＜0，
則f（-x）=-（-x）²-4（-x）=-x²+4x，
則函數(shù)y=-x²-4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是y=x²-4x（x≥0）
由題意知，作出函數(shù)y=x²-4x（x≥0）的圖象及函數(shù)f（x）=log₃x（x＞0）的圖象如下圖所示
由圖可得兩個函數(shù)圖象共有兩個交點(diǎn)

即f（x）的“友好點(diǎn)對”有：2個．
故答案為：2

點(diǎn)評：本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對“友好點(diǎn)對”的正確理解，合理地利用圖象法解決．