Question

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)圓與直線(xiàn)：有公共點(diǎn)時(shí)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)離心率及焦距即可求出橢圓方程（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，表示出圓的半徑，因?yàn)閳A與直線(xiàn)有公共點(diǎn),所以M到直線(xiàn)距離小于等于半徑，即可求出x0的取值范圍，進(jìn)而求出|y0|的最大值，即可求三角形面積的最大值.

(1)∵2c＝2，且＝，∴c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.

則橢圓C的方程為＋＝1.

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則＋＝1.∵F1(－1，0)，＝4，∴直線(xiàn)l的方程為x＝4.∵圓M與l有公共點(diǎn)，∴M到l的距離4－x0小于或等于圓的半徑R.

∵R2＝|MF1|2＝(x0＋1)2＋y，∴(4－x0)2≤(x0＋1)2＋y，即y＋10x0－15≥0.

又y＝3，∴3－＋10x0－15≥0，解得≤x0≤12，又－2<x0<2，∴≤x0<2.當(dāng)x0＝時(shí)，|y0|＝，此時(shí)△MF1F2的面積取得最大值，且(S△MF1F2)max＝×2×＝.