Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n=a_n+1-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．（2）設(shè)…+b_n，求證：＜1

Answer 1

【答案】分析：（1）利用遞推關(guān)系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁，可求通項(xiàng)a_n
（2）結(jié)合（1）可得，然后利用裂項(xiàng)求和求T_n即可證明．
解答：解：（1）∵a_n+1-S_n-1=0①∴n≥2時(shí)，a_n-S_n-1-1=0②
①-②得：（
由a_n+1-2S_n-1=0及a₁=1得a₂-S₁-1=0⇒a₂=S₁+1=a₁+1=2∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1

（2）∵
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n===
∵0＜＜1，
所以＜1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用結(jié)論：s_n=a₁+a₂+…+a_n，s_n-1=a₁+a+…+a_n-1（n≥2）是求解本題的關(guān)鍵，是進(jìn)行數(shù)列“項(xiàng)”與“和”之間的轉(zhuǎn)化常用的公式，但要注意對(duì)n=1的檢驗(yàn)．