Question

水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為V(t)=

(-t2+14t-40)e 1 4 x+50 0＜t≤10 4(t-10)(3t-41)+50 10＜t≤12

（Ⅰ）該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期．以i-1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年內哪幾個月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）．

Answer 1

分析：（1）分段求出水庫的蓄求量小于50時x的取值范圍，注意實際問題x要取整．
（2）一年內該水庫的最大蓄水量肯定不在枯水期，則V（t）的最大值只能在（4，10）內達到，然后通過導數在給定區(qū)間上研究V（t）的最大值，最后注意作答．

解答：解：（Ⅰ）①當0＜t≤10時，V(t)=(-t2+14t-40)e

1

4

x+50＜50，化簡得t²-14t+40＞0，
解得t＜4，或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．
②當10＜t≤12時，V（t）=4（t-10）（3t-41）+50＜50，化簡得（t-10）（3t-41）＜0，
解得10＜t＜

41

3

，又10＜t≤12，故10＜t≤12．
綜合得0＜t＜4，或10＜t≤12；
故知枯水期為1月，2月，3月，4，11月，12月共6個月．
（Ⅱ）（Ⅰ）知：V（t）的最大值只能在（4，10）內達到．
由V′（t）=e

1

4

t(-

1

4

t2+

3

2

t+4)=-

1

4

e

1

4

t(t+2)(t-8)，
令V′（t）=0，解得t=8（t=-2舍去）．
當t變化時，V′（t）與V（t）的變化情況如下表：

由上表，V（t）在t=8時取得最大值V（8）=8e²+50=108.32（億立方米）．
故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米

點評：本小題主要考查函數、導數和不等式等基本知識，考查用導數求最值和綜合運用數學知識解決實際問題能力．