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        1. (2013•眉山一模)已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.
          (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)若f(x)≤0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;
          (3)證明:
          n
          i=2
          lni
          i+1
          n(n-1)
          4
          (n∈N+,n>1).
          分析:(1)由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x)=
          1
          x
          -k
          .能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
          (2)由(1)知k≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),而f(1)=1-k>0,f(x)≤0不成立,故k>0,又由(1)知f(x)的最大值為f(
          1
          k
          ),由此能確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.
          (3)由(2)知,當(dāng)k=1時(shí),有f(x)≤0在(0,+∞)恒成立,且f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,即lnx<x-1在x∈[2,+∞)上恒成立,由此能夠證明
          n
          i=2
          lni
          i+1
          n(n-1)
          4
          (n∈N+,n>1).
          解答:解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x)=
          1
          x
          -k

          當(dāng)k≤0時(shí),f(x)=
          1
          x
          -k>0

          f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
          當(dāng)k>0時(shí),若x∈(0,
          1
          k
          )
          時(shí),有f(x)=
          1
          x
          -k>0
          ,
          若x∈(
          1
          k
          ,+∞)
          時(shí),有f(x)=
          1
          x
          -k<0
          ,
          則f(x)在(0,
          1
          k
          )上是增函數(shù),在(
          1
          k
          ,+∞
          )上是減函數(shù).
          (2)由(1)知k≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
          而f(1)=1-k>0,f(x)≤0不成立,故k>0,
          又由(1)知f(x)的最大值為f(
          1
          k
          ),要使f(x)≤0恒成立,
          則f(
          1
          k
          )≤0即可.,即-lnk≤0,得k≥1.
          (3)由(2)知,當(dāng)k=1時(shí),
          有f(x)≤0在(0,+∞)恒成立,
          且f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,
          即lnx<x-1在x∈[2,+∞)上恒成立,
          令x=n2,則lnn2<n2-1,
          即2lnn<(n-1)(n+1),從而
          lnn
          n+1
          n-1
          2
          ,
          n
          i=2
          lni
          i+1
          n(n-1)
          4
          (n∈N+,n>1).
          點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,確定實(shí)數(shù)的取值范圍,不等式的證明.考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2013•眉山一模)函數(shù)f(x)=
          lg|x|
          x2
          的大致圖象為( 。

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          (2013•眉山一模)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)-
          2
          i
          等于( 。

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