Question

已知關于x的不等式k•4^x-2^x+1+6k＜0
（1）若不等式的解集A={x|1＜x＜log₂3}，求實數k的值；
（2）若不等式的解集A?{x|1＜x＜log₂3}，求實數k的取值范圍；
（3）若不等式的解集A⊆{x|1＜x＜log₂3}，求實數k的取值范圍；
（4）若不等式的解集A∩{x|1＜x＜log₂3}≠?，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：令t=2^x，則原不等式可轉化為kt²-2t+6k＜0，由1＜x＜log₂3可得2＜t＜3
（1）不等式解集區(qū)間的端點就是相應方程的根，所以方程kt²-2t+6k=0的兩根分別為2和3，再利用一元二次方程根與系數的關系，可得實數k的值；
（2）函數f（t）=kt²-2t+6k，分k＞0，k=0，k＜0三種情況分別進行討論可得實數k的取值范圍
（3）原命題題等價于不等式組：△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥02≤1k先解△≤0，可得符合條件的k的取值范圍．
（4）由A∩{t|2＜t＜3}≠∅可得，先尋求A∩{t|2＜t＜3}=∅的k的范圍，再利用補集進行求解

解答：解：（1）由已知得，2和3是相應方程kt²-2t+6k=0的兩根且k＞0，k=

2

5

（2）∵A?{x|1＜x＜log₂3}，∴A?{x|2＜t＜3}且A中的元素t＞0
令f（t）=kt²-2t+6k，
當k＞0時，則有 f（2）≤0，f（3）≤0
解得0＜k≤

2

5

當k=0時，A={t|t＞0}顯然滿足條件
當k＜0時，由于x=

1

k

＜0，則只要

f(2)≤0 f(3)＜0

，此時可得k＜0
綜上可得a≤

2

5

（3）對應方程的△=4-24k²，令f（t）=kt²-2t+6k
則原問題等價于△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥0，2≤

1

k

≤3
又k＞0，∴k≥

6

6

由 f（2）≥0，f（3）≥0，2≤

1

k

≤3解得

2

5

≤k≤

1

2

綜上，符合條件的k的取值范圍是[

2

5

，+∞）
（4）當A∩{t|2＜t＜3}=∅時可得
若k=0，A={t|t＞0}，符合條件
若k＞0可得

f(2)≥0 f(3)≥0 1 k ≤2

或

f(2)≥0 f(3)≥0 1 k ≥3

解不等式組可得，k≥

1

2

或k不存在
即k≥

1

2

時，A∩{t|2＜t＜3}=∅
0＜k＜

1

2

時A∩{t|2＜t＜3}≠∅
若k＜0可得，結合二次函數的圖象可知A∩{t|2＜t＜3}≠∅
綜上可得，k＜

1

2

點評：本題考查了一元二次方程根與一元二次不等式的關系，屬于中檔題．解題時應該注意求解過程中的分類討論思想與數形結思想的運用．