Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=4，AD=DC=2，設(shè)點(diǎn)N是DC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是梯形ABCD內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

AM

•

AN

的最大值是（　�。�

A．4

B．6

C．8

D．10

Answer 1

分析：以直線AB為x軸、AD為y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，然后求出A、B、C、D、N各點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)M（x，y），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得

AM

•

AN

=x+2y，設(shè)z=x+2y對(duì)應(yīng)直線l，將直線l進(jìn)行平移，可得當(dāng)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，2）時(shí)目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值，由此即可得到

AM

•

AN

的最大值．

解答：解：以直線AB為x軸，AD為y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
可得A（0，0），B（4，0），C（2，2），D（0，2），N（1，2）
設(shè)M（x，y），可得

AM

=（x，y），

AN

=（1，2），
∴

AM

•

AN

=x+2y，設(shè)z=x+2y對(duì)應(yīng)直線l，
將直線l平移，得當(dāng)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值
∴z=x+2y的最大值為2+2×2=6，即

AM

•

AN

的最大值是6
故答案為：6

點(diǎn)評(píng)：本題給出直角梯形中的向量，求它們數(shù)量積的最大值．著重考查了向量數(shù)量積的定義和運(yùn)用直線平移法求“二元一次型”目標(biāo)函數(shù)的最值等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積幾何意義靈活應(yīng)用能力，屬于中檔題．