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        1. 已知橢圓方程為(a>b>0),長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)A、B,短軸上端頂點(diǎn)為M,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),且=1,|OF|=1.
          (1)求橢圓方程;
          (2)直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),問(wèn):是否存在直線l,使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          【答案】分析:(1)根據(jù)題意可知c,進(jìn)而根據(jù)=1求得a,進(jìn)而利用a和c求得b,故可得橢圓的方程;
          (2)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且F恰為△PQM的垂心,設(shè)出P,Q的坐標(biāo),利用點(diǎn)M,F(xiàn)的坐標(biāo)求得直線PQ的斜率,設(shè)出直線l的方程,與橢圓方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2,進(jìn)而利用=0求得m,即可得到直線的方程..
          解答:解:(1)由題意知c=1,
          =1,
          ∴(a+c)•(a-c)=1=a2-c2,∴a2=2
          故橢圓方程為
          (2)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且F恰為△PQM的垂心,則
          設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),∵M(jìn)(0,1),F(xiàn)(1,0),故kPQ=1,
          于是設(shè)直線l為y=x+m,與橢圓方程聯(lián)立,消元可得3x2+4mx+2m2-2=0
          =x1(x2-1)+y2(y1-1)=0又yi=xi+m(i=1,2)
          得x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0
          即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0
          由韋達(dá)定理得2•-(m-1)+m2-m=0
          解得m=- 或m=1(舍)
          經(jīng)檢驗(yàn)m=-符合條件,故直線l方程為
          點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)求橢圓方程;
          (2)直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),問(wèn):是否存在直線l,使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          (Ⅰ)求橢圓的方程;
          (Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值。

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          (1)求橢圓方程;
          (2)直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),問(wèn):是否存在直線l,使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          A.
          B.
          C.
          D.

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