Question

若函數(shù)f（x）在[0，1]上滿足：對于任意的s，t∈[0，1]，λ＞0，都有

f(s)+λf(t)

1+λ

＜f(

s+λt

1+λ

)，則稱f（x）在[0，1]上為凸函數(shù)．在三個(gè)函數(shù)f₁（x）=x+1，f₂（x）=e^x-1，f₃（x）=lg

x+1

中，在[0，1]上是凸函數(shù)的有

f₃（x）=lg

x+1

（寫出您認(rèn)為正確的所有函數(shù)）．

Answer 1

分析：根據(jù)凸函數(shù)的定義：對于任意的s、t∈[0，1]，λ＞0，都有

f(s)+λf(t)

1+λ

＜f(

s+λt

1+λ

)，可得它的幾何意義是函數(shù)函數(shù)圖象在[0，1]上的形狀上凸的，如圖所示．由此將三個(gè)函數(shù)圖象與此定義加以對照，可得正確答案．

解答：解：根據(jù)凸函數(shù)的定義，可得
∵對于任意的s、t∈[0，1]，λ＞0，都有

f(s)+λf(t)

1+λ

＜f(

s+λt

1+λ

)，
∴對于自變量x=

s+λt

1+λ

，函數(shù)值f(

s+λt

1+λ

)要大于點(diǎn)A（s，f（s））與點(diǎn)B（t，f（t））連線段上的相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)

f(s)+λf(t)

1+λ

．由此可得函數(shù)在[0，1]上的函數(shù)圖象是上凸的，如圖所示．

∵函數(shù)f₁（x）=x+1的圖象是一條直線，函數(shù)f₂（x）=e^x-1的圖象是一條下凹的曲線，
而函數(shù)f₃（x）=lg

x+1

的圖象是一條上凸的曲線，
∴函數(shù)f₃（x）=lg

x+1

的在[0，1]上是凸函數(shù)．
故答案為：f₃（x）=lg

x+1

點(diǎn)評：本題給出凸函數(shù)的定義，要求我們從三個(gè)函數(shù)中找出符合定義的函數(shù)．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象作法及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．