Question

已知F₁(-2,0),F₂(2,0),點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF₁|-|PF₂|=2,記點(diǎn)P的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程;

(2)若直線l過(guò)點(diǎn)F₂且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn),①無(wú)論直線l繞F₂怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),在x軸上總存在定點(diǎn)M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求實(shí)數(shù)m的值.②過(guò)P、Q作直線x=的垂線PA、QB,垂足分別為A、B,是否存在直線l,滿(mǎn)足|PA|+|QB|=|AB|,若存在,求出l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解:(1)由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知,點(diǎn)P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支.由c=2,2a=2,得b²=3.

軌跡E的方程為x²=1(x≥1).

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),將l的方程與雙曲線方程聯(lián)立,消y得(k²-3)x²-4k²x+4k²+3=0.解得k²＞3.

①∵·=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=（k²+1)x₁x₂-(2k²+m)(x₁+x₂)+m²+4k²=+m²,

∵M(jìn)P⊥MQ,

∴·=0,即3(1-m²）+k²(m²-4m-5)=0對(duì)任意的k²＞3恒成立.

∴解得m=-1.當(dāng)m=-1時(shí),MP⊥MQ.

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知結(jié)論也成立.

綜上,當(dāng)m=-1時(shí),MP⊥MQ.

②∵a=1,c=2,∴x=是雙曲線的右準(zhǔn)線,假設(shè)存在直線l滿(mǎn)足條件,且斜率為k.

由雙曲線定義得:|PA|=|PF₂|=|PF₂|,|QB|=|QF₂|，

∴|PQ|=|AB||x₂-x₁|=|y₂-y₁|=|k(x₂-x₁)|.

∴1=|k|.

∴k=±1.又k²＞3,∴此時(shí)k不存在.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),|PQ|=|AB|,此時(shí)不滿(mǎn)足題設(shè).

故不存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的直線l.