Question

【題目】已知函數(shù)

若，求的單調(diào)區(qū)間；

是否存在實(shí)數(shù)a，使的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（I）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（II）存在實(shí)數(shù)，使的最小值為0.

【解析】

根據(jù)代入函數(shù)表達(dá)式，解出，再代入原函數(shù)得，求出函數(shù)的定義域后，討論真數(shù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使的最小值為0，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得真數(shù)恒成立，且真數(shù)t的最小值恰好是1，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可列出式子：，由此解出，從而得到存在a的值，使的最小值為0．

且，

可得函數(shù)

真數(shù)為

函數(shù)定義域?yàn)?/span>

令

可得：當(dāng)時(shí)，t為關(guān)于x的增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，t為關(guān)于x的減函數(shù)．

底數(shù)為

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使的最小值為0，

由于底數(shù)為，可得真數(shù)恒成立，

且真數(shù)t的最小值恰好是1，

即a為正數(shù)，且當(dāng)時(shí)，t值為1．

因此存在實(shí)數(shù)，使的最小值為0．