Question

已知橢圓C₁ ：(a＞b＞0)的一條準(zhǔn)線(xiàn)方程是x = ,其左、右頂點(diǎn)分別是A、B雙曲線(xiàn)C₂ ：=1的一條漸近線(xiàn)方程為3x 5y = 0 .

（1）求橢圓C₁的方程及雙曲線(xiàn)C₂的離心率；

（2）在第二象限內(nèi)取雙曲線(xiàn)C₂上一點(diǎn)， 連結(jié)BP交橢圓C₁于點(diǎn)M，連結(jié)PA并延長(zhǎng)交橢圓C₁于點(diǎn)N，若。求證：= 0 。

Answer 1

解：（1）由已知    ， 解之得  

∴橢圓的方程為=1，雙曲線(xiàn)的方程=1。又c′=

∴雙曲線(xiàn)的離心率e₂ =

（2）由（1）A（5，0），B（5，0）

設(shè)M ( x₀ ,y₀ ) , 則由，得M為BP的中點(diǎn)

∴P點(diǎn)坐標(biāo)這(2x₀ 5 , 2y₀ )

將M、P坐標(biāo)代入C₁、C₂方程得：

消去y₀得：25x₀ 25 = 0 解之得：x₀ =或x₀ = 5（舍去）

由此可得：P ( 10 , 3 )

當(dāng)P為 P ( 10 , 3 )時(shí)，PA的方程為y =( x + 5 )

即y =( x + 5 )

代入=1，得：2x² + 15x + 25 = 0

x =或x = 5 （舍去）

∴x_N =, ∴x_N = x₀ , MN⊥x 軸，即