Question

已知在長(zhǎng)方體AC′中，且AA′=1，AB=AD=2，
（1）求三棱錐A-A'BD的體積；
（2）若M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，求棱柱D′DM-C′CN的體積；
（3）求該長(zhǎng)方體外接球的表面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三棱錐A-A'BD的體積公式，進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)錐體的體積公式即可求棱柱D′DM-C′CN的體積；
（3）根據(jù)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線和外接球半徑之間的關(guān)系即可求球的表面積．

解答：解：（1）由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，三棱錐A'-ABD的高為AA'，
∴V三棱錐A′-ABD=

1

3

S△ABDAA′=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

，
（2）由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，DC為棱柱D'DM-C'CN的高，
又M，N分別為AD，AC的中點(diǎn)，
∴S△NCC′=

1

2

NC×CC′=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴棱柱D'DM-C'CN的體積為

1

2

×2=1．
（3）由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑，
又A'C²=A'A²+AC²=A'A²+AB²+AD²=1²+2²+2²=9，
∴A'C=3，所以外接球的半徑為

3

2

，
故該長(zhǎng)方體外接球的表面積為9π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三棱錐的體積的計(jì)算，以及長(zhǎng)方體的體對(duì)角線和球外接球的直徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．