Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（c＞0）的導函數的圖象如圖所示：
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g(x)=

f(x)

x

，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據圖象可知f（x）的導函數是一次函數，根據坐標（0，1），（-

1

2

，0）確定出一次函數解析式，求出f（x）的導函數，兩者相等求出a、b即可；
（2）方法一：討論

c

的大小范圍，以[1，2]分成三個區(qū)間分別討論，利用導數求閉區(qū)間上函數最值的方法求出最值并比較求出最大值即可；方法二：討論x與

c

的大小利用導數求閉區(qū)間上函數最值的方法求出最值并比較求出最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）因為f′（x）=2ax+b，由圖可知，f′（x）=2x+1，
∴

2a=2 b=1

，得

a=1 b=1

，故所求函數解析式為f（x）=x²+x+c．
（Ⅱ）g(x)=

f(x)

x

=

x2+x+c

x

=x+

c

x

+1，
則g′(x)=1-

c

x2

=

x2-c

x2

=

(x+ c )(x- c )

x2

．
法一：①若

c

＜1，即0＜c＜1時，g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，2]上是增函數，故g(x)max=g(2)=

1

2

c+3．
②若1≤

c

≤2，即1≤c≤4，當1≤x＜

c

時，g′（x）＜0；當

c

≤x≤2時，g′（x）＞0；
∵g（1）=c+2，g(2)=

1

2

c+3，
∴當1≤c≤2時，g（1）≤g（2），g(x)max=g(2)=

1

2

c+3；
當2＜c≤4時，g（1）＞g（2），g（x）_max=g（1）=c+2．
③若

c

＞2，即c＞4時，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，2]上是減函數，故g（x）_max=g（1）=c+2．
綜上所述，當0＜c≤2時，g(x)max=

1

2

c+3；當c＞2時，g（x）_max=c+2．
法二：∵當0≤x＜

c

時，g′（x）＜0；當x≥

c

時，g′（x）＞0；
∴當x=1或x=2時，g（x）取得最大值，其中g（1）=c+2，g(2)=

c

2

+3，
當0＜c≤2時，g(x)max=g(2)=

c

2

+3；
當c≥2時，g（x）_max=g（1）=c+2．

點評：此題主要考查學生利用導數求閉區(qū)間上函數的最值的能力，以及分類討論的數學思想．