Question

已知α，β是三次函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，且α∈（0，1），β∈（1，2），則

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  4

  ，1)
• B、(

  1

  2

  ，1)
• C、(-

  1

  2

  ，

  1

  4

  )
• D、(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由已知中α，β是三次函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，且α∈（0，1），β∈（1，2），我們易得f′（x）=x²+ax+2b的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）上，由零點(diǎn)存在定理，我們易構(gòu)造關(guān)于a，b的不等式組，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性規(guī)劃問題，分析

b-2

a-1

的幾何意義，即可根據(jù)數(shù)形結(jié)合求出答案．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx
∴f′（x）=x²+ax+2b
又∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖所示：
由圖可得：當(dāng)x=-3，y=1時(shí)，

b-2

a-1

取最小值

1

4

；
當(dāng)x=-1，y=0時(shí)，

b-2

a-1

取最大值1；
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，其中根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理，將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題是解答本題的關(guān)鍵．