Question

（2013•紹興一模）已知函數(shù)f（x）=x²+（3-p）x+（1-p²）lnx（p∈R），
（1）若f（x）無(wú)極值點(diǎn)，求p的取值范圍；
（2）設(shè)x₀為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，問(wèn)在直線x=x₀的右側(cè)，函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），使得

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=3-p成立？若存在，求出x₁的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）=x²+（3-p）x+（1-p²）lnx求導(dǎo)f'（x）=2x+（3-p）+

1-p2

x

，再令f'（x）=0，得[x+（1-p）][2x+（1+p）]=0，根據(jù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)，建立關(guān)于p的不等關(guān)系，求解即得p的取值范圍；
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），使得

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=3-p成立．再利用構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)，求出x₁的取值范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+（3-p）x+（1-p²）lnx，
∴f'（x）=2x+（3-p）+

1-p2

x

，令f'（x）=0，得2x²+（3-p）x+（1-p²）=0，
即[x+（1-p）][2x+（1+p）]=0，∵f（x）無(wú)極值點(diǎn)，
則

p-1≤0 - 1+p 2 ≤0

或p-1=-

1+p

2

，
解得-1≤p≤1或p=

1

3

．
故p的取值范圍：[-1，1]．
（2）因x＞0，由（1）f'（x）=0知，函數(shù)f（x）最多只有一個(gè)極值點(diǎn)x₀，且函數(shù)f（x）在x＞x₀時(shí)，是增函數(shù)，
由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=3-p＞0得p＜3，
又

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=(x1+x2)+3-p+(1-p2)

lnx2-lnx1

x2-x1

=3-p，
∴

1

p2-1

=

lnx2-lnx1

x2<sup>2</sup>-x1<sup>2</sup>

，
∴

2 x 2 1

p2-1

=

ln( x2 x1 )2

( x2 x1 )2-1

，∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1，設(shè)t=(

x2

x1

)2，g（t）=t-1-lnt（t＞1），
則g'（x）=1-

1

t

，函數(shù)g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，又g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，
∴(

x2

x1

)2-1＞ln(

x2

x1

)2，∴

ln( x2 x1 )2

( x2 x1 )2-1

＜1，即

2 x 2 1

p2-1

＜1，得-

2(p2-1)

2

＜x₁＜

2(p2-1)

2

，（p＜-1或1＜p＜3）
又A在直線x=x₀的右側(cè)，且在函數(shù)y=f（x）的圖象上，故
①當(dāng)p＜-1時(shí)，x₀=-

1+p

2

，此時(shí)-

1+p

2

＜x₁＜

2(p2-1)

2

；
②當(dāng)1＜p＜3時(shí)，x₀=p-1，此時(shí)p-1＜x₁＜

2(p2-1)

2

；
綜上，存在點(diǎn)A，且當(dāng)p＜-1時(shí)，-

1+p

2

＜x₁＜

2(p2-1)

2

；當(dāng)1＜p＜3時(shí)，p-1＜x₁＜

2(p2-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題時(shí)要注意題目中所應(yīng)用的函數(shù)的思想，要使的函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號(hào)即可，這種思想經(jīng)常用到．