Question

在四棱錐P-ABCD中PD⊥底面ABCD，底面為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）要證：EF⊥CD，先證DC⊥AP，再證EF‖AP即可證明EF⊥CD．
（2）如圖，取BD的中點(diǎn)H，連接FH，要證GF⊥平面PCB，只需證明GF⊥BC．GF⊥PB即可．

解答：證明（1）∵PD⊥DC，DC⊥AD，AD∩PD=D，
∴DC⊥平面PAD，
∵AP∈平面ABCD，∴DC⊥AP，
∵E、F分別是PB和AB的中點(diǎn)，EF是三角形PAB的中位線，EF‖AP，
∴EF⊥CD．

（2）取BD的中點(diǎn)H，連接FH，則FH是三角形PBD的中位線，
EF‖PD，PD⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，
過H作GM平行AB，交AD于G，交BC于M，連接GF，GH⊥AD，
根據(jù)三垂線定理，GF⊥AD，AD‖BC，故GF⊥BC，
設(shè)AB=1個(gè)單位，PG=BG=

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，三角形PGB是等腰三角形，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，GF⊥PB，PB∩BC=B，
∴GF⊥平面PBC，即取AD的中點(diǎn)G，則GF⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生的空間想象能力，以及對(duì)線面關(guān)系的考查，是難題．