Question

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，，O，M，N分別為CE，AB，EM的中點．
（1）求證：OD∥平面ABC；
（2）求證：ON⊥平面ABDE；
（3）求直線CD與平面ODM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形的中位線的性質，先證明四邊形ODBF是平行四邊形，從而可得OD∥FB，利用線面平行的判定，可以證明OD∥平面ABC；
（2）利用平面ABDE⊥平面ABC，證明BD⊥平面ABC，進而可證ON⊥平面ABDE；
（3）建立空間直角坐標系，確定平面ODM的法向量，利用向量的夾角公式，可求直線CD與平面ODM所成角的正弦值．
解答：（1）證明：如圖1，取AC中點F，連接OF，BF．
∵O是EC中點，∴OF是△CAE的中位線，∴OF∥EA，且，
又DB∥EA，且，∴OF∥DB且OF=DB，∴四邊形ODBF是平行四邊形，
∴OD∥FB．
∵OD?面ABC，FB?面ABC，OD∥平面ABC．…（5分）
（2）證明：連接CM，
∵N是EM的中點，∴ON∥CM．
∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，BD?平面ABDE，BD⊥AB，
∴BD⊥平面ABC，
∵CM?平面ABC，∴BD⊥CM，∴BD⊥ON．
又△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，M是AB的中點，∴CM⊥AB，∴ON⊥AB，
由AB，DB?平面ABDE，AB∩DB=B，∴ON⊥平面ABDE．…（11分）
（3）解：建立如圖2所示的空間直角坐標系．
由條件，得，，
∴，
設平面ODM的法向量為，
由，
∴，取，
設直線CD與平面ODM所成角為θ，則，
∴直線CD與平面ODM所成角的正弦值為．  …（16分）
點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是正確運用線面平行與垂直的判定與性質，正確運用向量法求線面角．