Question

已知函數(shù)f(x)=|1-|(x＞0)，

(1)當(dāng)0＜a＜b,且f(a)=f(b)時(shí)，求證：ab＞1;

(2)是否存在實(shí)數(shù)a、b(a＜b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是［a,b］？若存在，則求出a、b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若存在實(shí)數(shù)a、b(a＜b)，使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?I >a,b］時(shí)，值域?yàn)椋?I >Ma,Mb］(M≠0),求M的取值范圍.

Answer 1

(1)證明：∵x＞0,∴f(x)=                                                                    

∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞)上是增函數(shù).??

由0＜a＜b,且f(a)=f(b),可得0＜a＜1＜b和-1=1-,即+=2.?

∴2AB=a+b＞2.                                                                                ?

故＞1,即AB＞1.                                                                               ?

(2)解：不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b.?

若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b，使得函數(shù)y=f(x)=|1-|的定義域、值域都是［a,b］，則a＞0，f(x)=

①當(dāng)a、b∈(0,1)時(shí)，f(x)= -1在(0,1)上為減函數(shù)，故即?

解得a=b.故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b.                                              ?

②當(dāng)a、b∈［1,+∞)時(shí)，f(x)=1-在(1,+∞)上是增函數(shù)，故即?

此時(shí)a、b是方程x²-x+1=0的根，此方程無(wú)實(shí)根.??

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a、b.                                                         

當(dāng)a∈(0,1),b∈［1,+∞)時(shí)，由于1∈［a,b］，而f(1)=0［a,b］,故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a、b.?

綜上，可知不存在適合條件的實(shí)數(shù)a、b.                                                  

(3)解：若存在實(shí)數(shù)a、b(a＜b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?I >a,b］時(shí)值域?yàn)椋?I >ma,mb］，則a＞0,m＞0.??

①當(dāng)a、b∈(0,1)時(shí)，由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，值域?yàn)椋?I >ma,mb］，即

此時(shí)a,b異號(hào)，不合題意，所以a,b不存在.?

②當(dāng)a∈(0,1)或b∈(1,+∞)時(shí)，由(2)知0在值域內(nèi)，值域不可能是［ma,mb］，所以a、b不存在.故只有a、b∈［1,+∞).?

∵f(x)=|1-|在(1,+∞)上是增函數(shù),∴即?

a、b是方程mx²-x+1=0的兩個(gè)根，?

即關(guān)于x的方程mx²-x+1=0有兩個(gè)大于1的實(shí)根.                                              ?

設(shè)這兩個(gè)根為x₁、x₂,則x₁+x₂=,x_1·x₂=.??

∴即?

解之，得0＜m＜.?

故m的取值范圍是0＜m＜.