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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知曲線C1
          x=-4+cost
          y=3+sint
          (t為參數),C2
          x=8cosθ
          y=3sinθ
          (θ為參數),
          (1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
          (2)若C1上的點P對應的參數為t=
          π
          2
          ,Q為C2上的動點,求PQ中點M到直線C3
          x=3+2t
          y=-2+t
          (t為參數)距離的最小值.
          分析:(1)把參數方程利用同角三角函數的基本關系消去參數,化為普通方程,從而得到它們分別表示什么曲線.
          (2)求出點p(-4,4),設Q(8cosθ,3sinθ),則 PQ中點M(4cosθ-2,
          4+3sinθ
          2
          ).利用點到直線的距離公式求出PQ中點M到直線C3
          x=3+2t
          y=-2+t
          (t為參數)距離
          |5sin(θ+∅)-13|
          5
          ,再由正弦函數的值域求得它的最小值.
          解答:解:(1)∵曲線C1
          x=-4+cost
          y=3+sint
          (t為參數),利用同角三角函數的基本關系消去參數t,化為普通方程 (x+4)2+(y-3)2=1,
          表示以(-4,3)為圓心,以1為半徑的圓.
          C2
          x=8cosθ
          y=3sinθ
          (θ為參數),利用同角三角函數的基本關系消去參數t,化為普通方程為
          x2
          64
          +
          y2
          9
          =1,
          表示焦點在x軸上的一個橢圓.
          (2)C1上的點P對應的參數為t=
          π
          2
          ,Q為C2上的動點,可得點p(-4,4),設Q(8cosθ,3sinθ),則 PQ中點M(4cosθ-2,
          4+3sinθ
          2
          ).
          直線C3 即 x-2y-7=0.故PQ中點M到直線C3:x-2y-7=0 的距離為 
          |4cosθ-2-2×
          4+3sinθ
          2
          -7|
          1+4
          =
          |4cosθ-3sinθ-13|
          5
           
          =
          |5sin(θ+∅)-13|
          5
          |5-13|
          5
          =
          8
          5
          5

          故PQ中點M到直線C3
          x=3+2t
          y=-2+t
          (t為參數)距離的最小值為
          8
          5
          5
          點評:本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法,點到直線的距離公式的應用,正弦函數的值域,屬于基礎題.
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