Question

已知曲線C1

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），C2：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)），
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C3：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）把參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)，化為普通方程，從而得到它們分別表示什么曲線．
（2）求出點p（-4，4），設(shè)Q（8cosθ，3sinθ），則 PQ中點M（4cosθ-2，

4+3sinθ

2

）．利用點到直線的距離公式求出PQ中點M到直線C3：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）距離
為

|5sin(θ+∅)-13|

5

，再由正弦函數(shù)的值域求得它的最小值．

解答：解：（1）∵曲線C1

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)t，化為普通方程 （x+4）²+（y-3）²=1，
表示以（-4，3）為圓心，以1為半徑的圓．
∵C2：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)t，化為普通方程為

x2

64

+

y2

9

=1，
表示焦點在x軸上的一個橢圓．
（2）C₁上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，Q為C₂上的動點，可得點p（-4，4），設(shè)Q（8cosθ，3sinθ），則 PQ中點M（4cosθ-2，

4+3sinθ

2

）．
直線C₃ 即 x-2y-7=0．故PQ中點M到直線C₃：x-2y-7=0 的距離為 

|4cosθ-2-2× 4+3sinθ 2 -7|

1+4

=

|4cosθ-3sinθ-13|

5

 
=

|5sin(θ+∅)-13|

5

≥

|5-13|

5

=

8 5

5

．
故PQ中點M到直線C3：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）距離的最小值為

8 5

5

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．