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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				
          （2012•普陀區(qū)一模）設點F是拋物線L：y2=4x的焦點，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）是拋物線L上的n個不同的點n（n≥3，n∈N*）
          （1）若拋物線L上三點P1、P2、P3的橫坐標之和等于4，求|
          FP1
          |+|
          FP2
          |+|
          FP3
          |          的值；
          （2）當n≥3時，若
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FPn
          =
          0
          ，求證：|
          FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FPn
          |   =2n          ；
          （3）若將題設中的拋物線方程y2=4x推廣為y2=2px（p＞0），請類比小題（2），寫出一個一般化的命題及其逆命題，并判斷其逆命題的真假．若是真命題，請予以證明；若是假命題，請說明理由．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）拋物線l的焦點為F（1，0），設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用拋物線的定義，結合x1+x2+x3=4，可得結論；
          （2）設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用拋物線的定義可得x1+x2+x3+…+xn=n，從而可證
          |FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FPn
          |          =2n
          （3）當n≥3時，若
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FPn
          =
          0
          ，求證：|
          FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FPn
          |=np          ；
          逆命題：當n≥3時，“若|
          FP1
          |+| 
          FP2
          |+…+|  
          FPN
          |=np          ，則
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FPN
          =
          0
          ”
          取n=4時，拋物線l的焦點為F（
          p
          2
          ，0），設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分別過P1、P2、P3，P4作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，Q4，利用拋物線的定義，可得x1+x2+x3+x4=2p，從而可得結論．
          解答：解：（1）拋物線l的焦點為F（1，0），設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
          分別過P1、P2、P3作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，
          ∴|
          FP1
          |+|
          FP2
          |+|
          FP3
          |          =（x1+
          p
          2
          ）+（x2+
          p
          2
          ）+（x3+
          p
          2
          ）=x1+x2+x3+3
          ∵x1+x2+x3=4，∴|
          FP1
          |+|
          FP2
          |+|
          FP3
          |          =7
          （2）設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn
          ∴
          |FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FPn
          |          =（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+…+（xn+1）=x1+x2+x3+…+xn+n
          ∵
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FPn
          =
          0
                     
          ∴x1+x2+x3+…+xn=n
          ∴
          |FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FPn
          |          =n+n=2n
          （3）當n≥3時，若
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FPn
          =
          0
          ，求證：|
          FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FPn
          |=np          ；
          逆命題：當n≥3時，“若|
          FP1
          |+| 
          FP2
          |+…+|  
          FPN
          |=np          ，則
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FPN
          =
          0
          ”
          設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn
          ∴
          |FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FPn
          |          =（x1+
          p
          2
          ）+（x2+
          p
          2
          ）+（x3+
          p
          2
          ）+…+（xn+
          p
          2
          ）=x1+x2+x3+…+xn+
          np
          2

          ∵
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FPn
          =
          0
                     
          ∴x1+x2+x3+…+xn=
          np
          2

          ∴
          |FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FPn
          |          =
          np
          2
          +
          np
          2
          =np
          逆命題為假命題：取n=4時，拋物線l的焦點為F（
          p
          2
          ，0），設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分別過P1、P2、P3，P4作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，Q4，
          ∴
          |FP1
          |+|
          FP2
          |+…+|
          FP4
          |          =x1+x2+x3+x4+2p=4p
          ∴x1+x2+x3+x4=2p
          不妨取P1(
          p
          4
          ，
          		2
          p
          2
          )          ，P2(
          p
          2
          ，p)          ，P3(
          p
          2
          ，-p)          ，P4(
          3p
          4
          ，
          		6
          p
          2
          )          ，則
          FP1
          +
          FP2
          +…+
          FP4
          ≠
          0

          故P1(
          p
          4
          ，
          		2
          p
          2
          )          ，P2(
          p
          2
          ，p)          ，P3(
          p
          2
          ，-p)          ，P4(
          3p
          4
          ，
          		6
          p
          2
          )          是一個當n=4時，該逆命題的一個反例．
          點評：本題考查拋物線的定義，考查向量的運算，解題的關鍵是正確運用拋物線的定義，難度較大．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•普陀區(qū)一模）
          e
          1          ，
          e
          2          是兩個不共線的向量，已知
          AB
          =2
          e
          1          +k
          e
          2          ，
          CB
          =
          e
          1          +3
          e
          2
          CD
          =2
          e
          1          -
          e
          2          ，且A，B，D三點共線，則實數(shù)k=
          -8
          -8
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•普陀區(qū)一模）設全集為R，集M={x|
          x2
          4
          +y2=1          }，N={x|
          x-3
          x+1
          ≤0          }，則集合{x|(x+
          3
          2
          )          2          +y2=
          1
          4
          }可表示為（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•普陀區(qū)一模）已知數(shù)列{an}是首項為2的等比數(shù)列，且滿足an+1=pan+2n(n∈N*)
          （1）求常數(shù)p的值和數(shù)列{an}的通項公式；
          （2）若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、…第3n-2項，…，余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列{bn}，試寫出數(shù)列
          {bn}的通項公式；
          （3）在（2）的條件下，設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)n，使得
          Tn+1
          Tn
          =
          11
          3
          ？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)n的值，若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•普陀區(qū)一模）對于平面α、β、γ和直線a、b、m、n，下列命題中真命題是（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•普陀區(qū)一模）函數(shù)y=
          1
          		log
          1
          2
          |x-1|
          的定義域是
          （0，1）∪（1，2）
          （0，1）∪（1，2）
          ．
          

			
          

			
          
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