Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（一1，1），P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．
（I）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且，直線OP與QA交于點M，試探究：點M的橫坐標是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則由k_OP+k_OA=k_PA，得，由此能求出點P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）法一：設，由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，故x₂+x₁=-1，由O、M、P三點共線可知，與共線，由此能求出點M的橫坐標為定值．
法二：設，由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，故x₂=-x₁-1，所以直線OP方程為：y=x₁x，直線QA的斜率為：，由此能求出點M的橫坐標為定值．
解答：解：（Ⅰ）設點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，
則由k_OP+k_OA=k_PA，
得，（2分）
整理得軌跡C的方程為y=x²（x≠0且x≠-1），…（4分）
（Ⅱ）（方法一）設，
由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故，即x₂+x₁=-1，…（6分）
由O、M、P三點共線可知，與共線，
∴，
由（Ⅰ）知x₁≠0，故y=xx₁，（8分）
同理，由與共線，
∴，
即（x₂+1）[（x+1）（x₂-1）-（y-1）]=0，
由（Ⅰ）知x₂≠-1，故（x+1）（x₂-1）-（y-1）=0，（10分）
將y=xx₁，x₂=-1-x₁代入上式得（x+1）（-2-x₁）-（xx₁-1）=0，
整理得-2x（x₁+1）=x₁+1，
由x₁≠-1得，即點M的橫坐標為定值．  （12分）
（方法二）
設，
由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故，即x₂=-x₁-1，（6分）
∴直線OP方程為：y=x₁x①； （8分）
直線QA的斜率為：，
∴直線QA方程為：y-1=（-x₁-2）（x+1），
即y=-（x₁+2）x-x₁-1②； （10分）
聯(lián)立①②，得，
∴點M的橫坐標為定值．（12分）
點評：本題考查軌跡方程的求法，探究點M的橫坐標是否為定值．具體涉及到直線與拋物線的位置關系、拋物線的基本性質、向量知識、直線方程等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．