Question

定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當x∈（0，1）時，有f（x）=

2x

4x+1

，
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性并用證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答：解：（1）設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
當x∈（0，1）時，有f（x）=

2x

4x+1

，
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

，
∵在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=

2x

1+4x

=-f（x）
∴f（x）=-

2x

1+4x

，
即f（x）在（-1，0）上的解析式為f（x）=-

2x

1+4x

．
（2）單調(diào)遞減．
任設(shè)x₁，x₂∈（0，1），不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f(x1)-f(x2)=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1?(4x2+1)-2x2?(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1-2x2)?(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2x11，
∴2x1-2x2＜0，1-2x1+x2＜0，
即f(x1)-f(x2)=

(2x1-2x2)?(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上的單調(diào)遞減．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用和單調(diào)性的應用，利用函數(shù)奇偶性的定義和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的運算能力．