Question

某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)．為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．

（Ⅰ）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)到市政廣場(chǎng)參加環(huán)保知識(shí)宣傳的志愿者活動(dòng)，設(shè)ξ表示所抽取的3名同學(xué)中得分在[80，90）的學(xué)生個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖可得[50，60），總共有8人，結(jié)合頻率分布直方圖，可求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；
（Ⅱ）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）有5人，分?jǐn)?shù)在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同學(xué)中得分在[80，90）的學(xué)生個(gè)數(shù)ξ的可能取值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，樣本容量n=

8

0.016×10

=50，y=

2

50×10

=0.004，x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030．（3分）
（Ⅱ）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）有5人，分?jǐn)?shù)在[90，100）有2人，共7人．
抽取的3名同學(xué)中得分在[80，90）的學(xué)生個(gè)數(shù)ξ的可能取值為1，2，3，則
P(ξ=1)=

C 1 5 C 2 2

C 3 7

=

5

35

=

1

7

，P(ξ=2)=

C 2 5 C 1 2

C 3 7

=

20

35

=

4

7

，P(ξ=3)=

C 3 5

C 3 7

=

10

35

=

2

7

．
所以，ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 7	4 7	2 7

所以，Eξ=1×

1

7

+2×

4

7

+3×

2

7

=

15

7

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查莖葉圖、頻率分布直方圖，考查隨機(jī)了的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的識(shí)圖能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．