Question

已知正三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為

3

的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則三棱錐P-ABC的體積為（　�。�

• A．

  3

  4

• B．

  1

  2

• C．

  4

  3

• D．2

Answer 1

分析：先將PA、PB、PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對(duì)角線，根據(jù)球的半徑求出對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)而得出正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)，從而求出三棱錐P-ABC的體積．

解答：解：∵空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，
則PA、PB、PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，
所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對(duì)角線，
設(shè)PA=PB=PC=a，
∴

3

a=2

3

，∴a=2，
則三棱錐P-ABC的體積為

1

6

a3=

4

3

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接體知識(shí)，考查空間想象能力，計(jì)算能力，分析出，正方體的對(duì)角線就是球的直徑是解好本題的關(guān)鍵所在．