Question

如圖，S-ABC是正三棱錐且側(cè)棱長為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動點，三角形BEF的周長的最小值為，則側(cè)棱SA，SC的夾角為

1. A.
   30°
2. B.
   60°
3. C.
   20°
4. D.
   90°

Answer 1

A
分析：由題意，三角形BEF的周長的最小值為，即沿多面體表面從B到B經(jīng)過的長度的最小值為，可將此幾何體沿SB剪開，變多面體表面上的軌跡長度問題為平面上的兩點間距離問題，展開后得到等腰三角形SBB'，可求得此時∠BSB'=90°，再由正三棱錐的性質(zhì)得SA，SC的夾角為30°，選出正確選項
解答：把正三棱錐沿SB剪開，并展開，形成三個全等的等腰三角形，△SBC、△SCA、△SAB'，
連接BB'，交SC于F，交SA于E，則線段BB′就是△BEF的最小周長，BB'=a，
又SB=SB'=a，根據(jù)勾股定理，SB²+SB'²=BB'²=2a²，
△SBB'是等腰直角三角形，
∴∠BSB'=90°，
∴∠ASC=90°×=30°，
∴側(cè)棱SA，SC的夾角為30°
故選A
點評：本題考查了多面體表面上的距離問題及線線夾角求法問題，解題的關(guān)鍵是將多面體展開，將多面體表面上的軌跡長度問題變化為平面上的兩點間距離問題研究，這里用到了幾何中常用的降維的技巧，化體為面是一個重要的技巧．本題易因為沒有把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題研究而導致無法求解．