Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n≥1，n∈Z)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求數(shù)列{n²a_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使關(guān)于n的不等式a_n≤（n+1）λ成立，求常數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{na_n}從第二項(xiàng)起，是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{n²a_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）分離參數(shù)，求出相應(yīng)的最值，即可求常數(shù)λ的最小值．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="ofezlpq" class="MathJye">a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)
所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=

n

2

an(n≥2)-------（1分）
兩式相減得nan=

n+1

2

an+1-

n

2

an
所以

(n+1)an+1

nan

=3(n≥2)------------（2分）
因此數(shù)列{na_n}從第二項(xiàng)起，是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列
所以nan=2•3n-2(n≥2)----（3分）
故an=

1，n=1 2 n •3n-2，n≥2

------------（4分）
（2）由（1）可知當(dāng)n≥2n2an=2n•3n-2
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，------------（5分）
∴3Tn=3+4•31+…+2(n-1)•3n-2+2n•3n-1，------------（6分）
兩式相減得Tn=

1

2

+(n-

1

2

)••3n-1(n≥2)------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，------------（8分）
所以Tn=

1

2

+(n-

1

2

)••3n-1(n∈N*)------------（9分）
（3）a_n≤（n+1）λ等價(jià)于λ≥

an

n+1

，------------（10分）
由（1）可知當(dāng)n≥2時(shí)，

an

n+1

=

2•3n-2

n(n+1)

設(shè)f(n)=

n(n+1)

2•3n-2

(n≥2，n∈N*)，則f(n+1)-f(n)=

n(n+1)(1-n)

2•3n-1

＜0，------------（12分）
∴

1

f(n+1)

≥

1

f(n)

，
又

1

f(2)

=

1

3

及

a1

2

=

1

2

，∴所求實(shí)數(shù)λ的取值范圍為λ≥

1

3

，
∴λmin=

1

3

-----（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．