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        1. 已知函數(shù)f(x)=ex-1,,其中e是自然對數(shù)的底,e=2.71828….
          (1)證明:函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn);
          (2)求方程f(x)=g(x)根的個數(shù),并說明理由;
          (3)若數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a1=a(a>0)(a為常數(shù)),f(an+1)=g(an),證明:存在常數(shù)M,使得對于任意n∈N*,都有an≤M.
          【答案】分析:(1)直接利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)即可;
          (2)通過方程f(x)=g(x)構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-1-,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明方程根的個數(shù);
          (3)直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,證明存在常數(shù)M=max{x,a},使得對于任意的n∈N*,都有an≤M.
          解答:解:(1)證明:由h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-,得:
          h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2->0,
          所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn).
          (2)由(1)得:h(x)=ex-1-,
          知,x∈[0,+∞),而h(0)=0,則x=0為h(x)的一個零點(diǎn),且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn),
          因此h(x)至少有兩個零點(diǎn).
          所以-1,記φ(x)=-1,則
          當(dāng)x∈(0,+∞)時,φ'(x)>0,因此φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則φ(x)在(0,+∞)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn).h(x)有且只有兩個零點(diǎn).
          所以,方程f(x)=g(x)根的個數(shù)為2.
          (3)記h(x)的正零點(diǎn)為x,即
          (1)當(dāng)a<x時,由a1=a,即a1<x.而=,因此a2<x,由此猜測:an<x.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
          ①當(dāng)n=1時,a1<x顯然成立;
          ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,有ak<x成立,則當(dāng)n=k+1時,由=知,ak+1<x,因此,當(dāng)n=k+1時,ak+1<x成立.
          故對任意的n∈N*,an<x成立.
          (2)當(dāng)a≥x時,由(1)知,h(x)在(x,+∞)上單調(diào)遞增.則h(a)≥h(x)=0,即.從而,即a2≤a,由此猜測:an≤a.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
          ①當(dāng)n=1時,a1≤a顯然成立;
          ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,有ak≤a成立,則當(dāng)n=k+1時,由知,ak+1≤a,因此,當(dāng)n=k+1時,ak+1≤a成立.
          故對任意的n∈N*,an≤a成立.
          綜上所述,存在常數(shù)M=max{x,a},使得對于任意的n∈N*,都有an≤M.
          點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,數(shù)學(xué)歸納法的證明方法以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.
          練習(xí)冊系列答案
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          1
          x
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          (Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值.

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