Question

已知直線(xiàn)l₁：ax-y+1=0與l₂：x+ay+1=0，給出如下結(jié)論：
①不論a為何值時(shí)，l₁與l₂都互相垂直；
②當(dāng)a變化時(shí)，l₁與l₂分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，1）和B（-1，0）；
③不論a為何值時(shí)，l₁與l₂都關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)；
④當(dāng)a變化時(shí)，l₁與l₂的交點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓（除去原點(diǎn)）．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

A．①③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：①l₁與l₂垂直時(shí)，利用兩直線(xiàn)垂直的充要條件可判斷；
②對(duì)于直線(xiàn)l₁與l₂分別令x=0，y=0，即可知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；
③在l₁上任取點(diǎn)（x，ax+1），關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-ax-1，-x），代入l₂：x+ay+1=0的左邊，可得不為0，故可判斷；
④聯(lián)立方程，消去參數(shù)，由方程可確定l₁與l₂的交點(diǎn)軌跡．

解答：解：①a×1-1×a=0恒成立，l₁與l₂垂直恒成立，故①正確；
②直線(xiàn)l₁：ax-y+1=0，當(dāng)a變化時(shí)，x=0，y=1恒成立，所以l₁經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，1）；
l₂：x+ay+1=0，當(dāng)a變化時(shí)，y=0，x=-1恒成立，所以l₂經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B（-1，0），故②正確
③在l₁上任取點(diǎn)（x，ax+1），關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-ax-1，-x），
代入l₂：x+ay+1=0的左邊，顯然不為0，故③不正確；
④聯(lián)立直線(xiàn)l₁：ax-y+1=0與l₂：x+ay+1=0，消去參數(shù)a可得：x²+x+y²-y=0（x≠0，y≠0），
∴當(dāng)a變化時(shí)，l₁與l₂的交點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓（除去原點(diǎn)），故④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題以直線(xiàn)為載體，考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，考查軌跡，綜合性，需一一判斷．