Question

(本題滿分14分)．有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板，現(xiàn)對(duì)其切割、焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋容器(切、焊損耗忽略不計(jì))．有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作如下設(shè)計(jì)：在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，剰余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的高是小正方形的邊長(zhǎng)．
(1)請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體容器的的容積V₁（用表示）；
(2)經(jīng)過(guò)設(shè)計(jì)（1）的方法，計(jì)算得到當(dāng)時(shí)，V_l取最大值，為了材料浪費(fèi)最少，工人師傅還實(shí)踐出了其它焊接方法，請(qǐng)寫出與（1）的焊接方法更佳（使材料浪費(fèi)最少，容積比V_l大）的設(shè)計(jì)方案，并計(jì)算利用你的設(shè)計(jì)方案所得到的容器的容積。

Answer 1

略

(1)解：設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為



4—2x，高為x，
∴V_l＝(4—2x)²x＝4(x³一4x²＋4x)  (0＜x＜2)　　    7分
(2) 能設(shè)計(jì)出比（1）的方案更佳的方案；          8分
具體如下：
如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長(zhǎng)方體容器．              11分
新焊長(zhǎng)方體容器底面是一長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積V₂＝3×2×1＝6，
顯然V₂＞V_l.                          13分
故第二種方案符設(shè)計(jì)得到的容積為6．   14分
第（2）問(wèn)給分情況說(shuō)明：
（1）本題是開(kāi)放性習(xí)題，設(shè)計(jì)方案比較多，其它答案按相應(yīng)分?jǐn)?shù)給分；
（2）設(shè)計(jì)為錐體容器的得0分。
（3）設(shè)計(jì)的容器容積比V₁小的得0分）