Question

一個(gè)空間四邊形ABCD的四條邊及對角線AC的長均為

2

，二面角D-AC-B的余弦值為

1

3

，則下列論斷正確的是（　�。�

• A、空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上且此球的表面積為3π
• B、空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上且此球的表面積為4π
• C、空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球上且此球的表面積為3

  3

  π
• D、不存在這樣的球使得空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在此球面上

Answer 1

分析：由題意，求出BD的長，然后判斷空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是否在同一球面上，求出球的表面積即可．

解答：解：如圖AC=AB=AD=BC=CD=

2

，cos∠DEB=

1

3

，
E為AC的中點(diǎn)，EB=ED=

6

2

，
所以BD²=2BE²-2×

1

3

×BE2
BD=

2

ABCD的幾何體為正四面體，有外接球，球的半徑為：

3

2

球的表面積為：3π
故選A

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查二面角的求法，幾何體的外接球的判斷，以及外接球的表面積的求法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力，是好題．