Question

單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足2Sn=

a

2 n

+n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足a_n+1+log₃b_n=log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由2Sn=

a

2 n

+n，可求a₁，當(dāng)n≥2，2Sn=

a

2 n

+n，2S_n-1=an-12+n-1兩式相減可得，結(jié)合數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增可得數(shù)列的項(xiàng)之間的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解
（2）由a_n+1+log₃b_n=log₃a_n，可求b_n，利用錯(cuò)位相減求和即可

解答：解：（1）∵2Sn=

a

2 n

+n，
∴n=1時(shí)2S1=a12+1
∴a₁=1
當(dāng)n≥2，2Sn=

a

2 n

+n，2S_n-1=an-12+n-1
兩式相減可得，2S_n-2S_n-1=an2-an-12+1
即2an=an2-an-12+1
∴(an-1)2=an-12
∵數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增
∴a_n＞a_n-1
∴a_n-a_n-1=1即數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列
∴a_n=1+1×（n-1）=n
（2）∵a_n+1+log₃b_n=log₃a_n，
∴n+1+log₃b_n=log₃n即
∴b_n=

n

3n+1

∴Tn=1•

1

32

+2•

1

33

+…+n•

1

3n+1

1

3

Tn=1•

1

33

+2•

1

34

+…+(n-1)•

1

3n+1

+n•

1

3n+2

兩式相減可得，

2

3

Tn=

1

32

+

1

33

+…+

1

3n+1

-n•

1

3n+2

=

1 32 (1- 1 3n )

1- 1 3

-n•

1

3n+2

∴T_n=

1

4

(1-

1

3n

)-

n

3n+2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式，數(shù)列的錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用是求和的重點(diǎn)，要注意掌握