Question

（本小題滿分14分）

如圖，在長方體中，，．

   （1）證明：當(dāng)點(diǎn)在棱上移動(dòng)時(shí)，；

   （2）在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的平面角

為？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)  

解析:

方法1：以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．………1分

設(shè)．……………2分

（1）證明： ∵，．

則，∴，即…4分

（2）解：當(dāng)時(shí)，二面角的平面角為．…5分

∵，，……6分

設(shè)平面的法向量為，

則，……8分

取，則是平面的一個(gè)法向量．…9分

而平面的一個(gè)法向量為，   ……10分

要使二面角的平面角為，

則，……12分

解得．

∴當(dāng)時(shí)，二面角的平面角為．………14分

方法2：

（1）證明：連結(jié)，在長方體中，

∵平面，平面，∴．……1分

∵，則四邊形是正方形，∴．……2分

∵，∴平面．………3分

∵平面，∴．……4分

（2）解：當(dāng)時(shí)，二面角的平面角為．  ……5分

連結(jié)，過作交于點(diǎn)，連結(jié)．…………6分

在長方體中，平面，平面，

∴．……7分∵，∴平面．……8分

∵平面，∴．……………9分

∴為二面角的平面角，即．…………10分

設(shè)，則，進(jìn)而．……11分

在△中，利用面積相等的關(guān)系有，，

∴．   ……12分

在△中，∵，∴．  ………13分

∴，解得．

故當(dāng)時(shí)，二面角的平面角為．……14分