Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x-1．（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；（2）求f（log

1

2

24）．

Answer 1

分析：先設(shè)x∈[-1，0），根據(jù)奇函數(shù)的定義，得到在[-1，0）上的解析式，將log

1

2

24利用f（x+2）=-f（x）轉(zhuǎn)化到[0，1]中，利用f（x）=2^x-1，求出答案．

解答：解：（1）令x∈[-1，0），則-x∈（0，1]，∴f（-x）=2^-x-1．
又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=f（-x）=2^-x-1，
∴f（x）=-（

1

2

)^x+1．
（2）∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
∵log

1

2

24=-log₂24∈（-5，-4），∴log

1

2

24+4∈（-1，0），
∴f（log

1

2

24）=f（log

1

2

24+4）=-（

1

2

)^log

1

2

24+4+1=-24×

1

16

+1=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的應(yīng)用，第一小題為求函數(shù)的解析式問(wèn)題，第二小題為利用周期對(duì)函數(shù)求值問(wèn)題．全面考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．