Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求公比q的值；
（Ⅱ）設(shè){b_n}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n≥2時(shí)，比較S_n與b_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，結(jié)合a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差數(shù)列，直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)列式進(jìn)行計(jì)算；
（Ⅱ）求出等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，由S_n與b_n作差得到S_n-1，代入前n-1項(xiàng)和的表達(dá)式后因式分解，然后分類討論比較
S_n與b_n的大�。�

解答：解答：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差數(shù)列，
所以2a₂₀₁₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂，即2a2011q2=a2011+a2011q，
∵a₂₀₁₁≠0，∴2q²-q-1=0．
∴q=1或q=-

1

2

，
又q≠1，∴q=-

1

2

；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，
公差q=-

1

2

，則Sn=2n+

n(n-1)

2

•(-

1

2

)=

-n2+9n

4

．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-bn=Sn-1=

-(n-1)2+9(n-1)

4

=

-n2+11n-10

4

=-

(n-1)(n-10)

4

，
故對(duì)于n∈N^*，當(dāng)2≤n≤9時(shí)，S_n＞b_n；
當(dāng)n=10時(shí)，S_n=b_n；
當(dāng)n≥11時(shí)，S_n＜b_n．

點(diǎn)評(píng)：本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．